Распределение моментов крена

Для практически всех пневматических шин силы на поворотах зависят, и нелинейно, от нагрузки. Это важно, потому что нагрузка переносится в поворотах в боковом направлении за счёт того, что CG транспортного средства поднят над землёй. Рисунок 6.11 показывает типичный пример того, как боковая сила изменяется в зависимости от вертикальной нагрузки.

Рис. 6.11 Зависимость боковой силы от характеристик вертикальной нагрузки шины.

Для автомобиля при 800 фунтах нагрузки на каждое колесо, при угле увода 5 градусов каждым колесом будет развиваться около 760 фунтов боковой силы. В крутых поворотах обычно нагрузки могут изменяться до 400 фунтов на внутреннее колесо и 1200 фунтов на внешнее. Затем средняя боковая сила обеих шин будет снижена примерно до 680 фунтов. Следовательно, шинам придётся принять на себя больший угол увода для поддержания боковой силы, необходимой для поворота. Если это передние колёса, перед будет пахать землю, и автомобиль будет иметь недостаточную поворачиваемость. Если это задние колёса, зад будет скользить наружу, и автомобиль будет поворачивать избыточно.

На самом деле этот механизм проявляет себя в работе на обеих осях всех транспортных средств. Способствует ли это недостаточной или избыточной поворачиваемости зависит от баланса моментов крена (roll moments), распределённых на переднюю и заднюю оси. Больший момент крена на передней оси способствует недостаточной поворачиваемости, тогда как больший момент крена на задней оси способствует избыточной поворачиваемости. Вспомогательные элементы поперечной жёсткости (стабилизаторы поперечной устойчивости, stabilizer bars) изменяют поведение при управлении в первую очередь с помощью этого механизма - применительно к передней оси при недостаточной поворачиваемости, и сзади при избыточной поворачиваемости.

Механика, регулирующая момент крена применительно к оси, показана на модели на Рисунке 6.12.

Рис. 6.12. Анализ сил простой машины в повороте.

Все подвески функционально эквивалентны двум пружинам. Горизонтальное разделения пружин заставляет их развивать момент сопротивления крену пропорционально разнице в угле крена между корпусом и осью. Жёсткость определяется по формуле:

(6-26)

где:

Kϕ = Поперечная угловая жёсткость подвески

Ks = Вертикальная скорость левой и правой пружин

s = Поперечное расстояние между пружинами

(В случае с независимой подвеской это уравнение может быть использовано путём замены Ks на вертикальную скорость колеса и использование в качестве расстояния ширины колеи. Когда присутствует стабилизатор поперечной устойчивости, к жёсткости, рассчитанной выше, должна быть добавлена поперечная жёсткость стабилизатора).

Подвеска также характеризуется "центром крена" ("roll center"), точкой, в которой боковые силы передаются от оси к подрессоренной массе. Центр крена можно также рассматривать как точку на корпусе, в которой применение боковой силы не приведёт к появлению угла крена, и это точка, вокруг которой кренится ось под воздействием только момента крена.

Написав второй закон Ньютона для моментов на оси, можно определить отношения между нагрузками на колёсах, боковой силой и углом крена. В дополнение к вертикальным силам, действующим на шины, есть результирующая боковая сила, Fy (сумма боковых сил на внутренних и внешних колёсах), действующая направо от оси в её центре крена. Крен кузова, действуя через пружины, накладывает крутящий момент на ось пропорционально поперечной угловой жёсткости, Kϕ, умноженной на угол крена, ϕ. Это приводит к уравнению для разницы нагрузки для сторон в виде:

(6-27)

где:

Fzo = Нагрузка в повороте на внешнее колесо

Fzi = Нагрузка в повороте на внутреннее колесо

Fy = Боковая сила = Fyi + Fyo

hr = Высота центра крена

t = Колея (ширина колеи)

Kϕ = Поперечная угловая жёсткость подвески

ϕ = Угла крена корпуса

Обратите внимание, что боковая передача нагрузки возникает из-за двух механизмов:

1)    2 Fy hr/t - Боковая нагрузка передаётся из-за боковых реактивных сил. Этот механизм возникает от боковых сил, действующих на ось, и является, таким образом, мгновенным эффектом. Он не зависит от угла крена корпуса и распределения момента крена.

2)    2 Kϕ ϕ/t - Передача боковой нагрузки из-за крена транспортного средства. Этот эффект зависит от динамики крена, и таким образом может отставать от изменений в условиях поворота. Он напрямую зависит от распределения момента крена вперёд/назад.

Чтобы получить уравнение для распределения моментов крена на передней и задней осях, должно рассматриваться транспортное средство целиком. В этом случае мы определяем ось крена как линию, соединяющую центры крена передней и задней подвесок, как показано на Рисунке 6.13.

Рис. 6.13. Анализ сил при крене транспортного средства.

Теперь момент вокруг оси в данном случае:

(6-28)

При малых углах cos ϕ и cos ε можно считать единицей, а sin ϕ = ϕ. Тогда:

(6-29)

Но:

(6-30)

Уравнения (6-28) и (6-29) могут быть решены для угла крена, ϕ:

(6-31)

Производная этого выражения по отношению к боковому ускорению приводит к уравнению для скорости крена транспортного средства:

(6-32)

Для типичных легковых автомобилей скорость крена находится, как правило, в диапазоне от 3 до 7 градусов/g.

Объединение выражения для ϕ из уравнения (6-31) с формулой (6-29) позволяет найти решение для моментов крена на передней и задней осях:

(6-33)

(6-34)

где:

В целом, распределение моментов крена на транспортном средстве обычно смещено в сторону передних колёс из-за ряда факторов:

1)    Связанная с нагрузкой, скорость сжатия передних пружин, как правило, несколько ниже, чем задних (для вертикального перемещения кузова без угловых колебаний), что производит к смещению в сторону более высокой поперечной угловой жёсткости, назад. Тем не менее, независимые передние подвески, используемые практически на всех автомобилях, повышают поперечную угловую жёсткость спереди, благодаря большему её эффективному распределению на передние пружины подвески.

2)        Разработчики обычно борются за высокую поперечную угловую жёсткость спереди, чтобы гарантировать недостаточную поворачиваемость в предельных поворотах.

3)    На передней оси часто используются стабилизаторы поперечной устойчивости, чтобы получить более высокую поперечную угловую жёсткость спереди.

4)    Если для уменьшения наклона корпуса необходимы стабилизаторы поперечной устойчивости, они могут быть установлены спереди или и спереди, и сзади. Следует с осторожностью добавлять стабилизатор поперечной устойчивости только сзади из-за возможности вызвать нежелательную избыточную поворачиваемость.

Теперь у нас есть решение для моментов крена спереди и сзади, и можно вычислить разницу в нагрузке между левыми и правыми колёсами на оси. Для перевода передачи боковой нагрузки во влияние на градиент недостаточной поворачиваемости необходимо иметь данные, которые связывают боковую реактивную силу шин с углом увода и нагрузкой. При заданных условиях угол увода на каждой оси изменится, если учесть передачу нагрузки. Разница между изменениями спереди и сзади (делённая на боковое ускорение) представляет собой эффект недостаточной поворачиваемости (understeer effect). Этот эффект может быть смоделирован представлением чувствительности нагрузки на шину в виде многочлена. Сначала анализ характеристик шин в повороте на оси был описан просто постоянной, названной "жёсткость при движении в повороте", Cα. Боковая реактивная сила, развиваемая на оси, была задана как:

(6-35)

где:

Fy = Боковое усилие, развиваемое на оси

Cα = Жёсткость при движении в повороте двух шин, каждая принимает половину нагрузки на ось

α = Угол увода (скольжения)

Чтобы представить эффект чувствительности к нагрузке, две шины (внутри и снаружи) должны рассматриваться отдельно.Жёсткость при движении в повороте каждой шины может быть представлена полиномом второго или более высокого порядка, и боковая сила, развиваемая каждой, будет определятся по формуле:

(6-36)

где:

Fy' = Боковая сила одной шины

Cα' = Жёсткость при движении в повороте одной шины

a = Первый коэффициент полинома жёсткости при движении в повороте (фунтy/фунтz/град)

b =  Второй коэффициент полинома жёсткости при движении в повороте (фунтy/фунтz2/град)

Fz = Нагрузка на одну шину (принимается в предыдущем анализе равной для обеих шин)

Как показано на Рисунке 6.12, для транспортного средства в повороте боковые силы обеих шин, Fy, определяются по формуле:

(6-37)

Теперь давайте примем изменение нагрузки на каждое колесо как ΔFz.

(6-38)

Тогда:

(6-39)

Это уравнение сводится к:

(6-40)

Это уравнение может быть упрощено, если заметить, что первые два слагаемых в скобках эквивалентны жёсткости шины при движении в повороте в условиях статической нагрузки на неё (как это было определено в предыдущем анализе). А именно:

(6-41)

или:

(6-42)

Напомним, что угол управления, который необходимо поддерживать в повороте, определяется по формуле:

(6-43)

Для двух шин спереди можно написать:

(6-44)

и сзади:

(6-45)

Подставим вместо углов увода в формулу (6-43):

(6-46)

Это уравнение можно упростить, используя тот факт, что Cα >> 2 b ΔFz2.

Тогда:

(6-47)

Уравнение (6-46) можно переписать в виде:

(6-48)

Выражение номер 1 в скобках - это просто градиент недостаточной поворачиваемости, связанный с номинальной жесткостью шин в поворотах, Ktires, как было найдено ранее. Второе слагаемое представляет градиент недостаточной поворачиваемости, вытекающий из передачи боковой нагрузки на шины, а именно:

(6-49)

Значения ΔFzf и ΔFzr могут быть получены из уравнений (6-33) и (6-34) как зависимости от боковых ускорений. Поскольку все переменные в уравнении являются положительными, вклад от передней оси всегда ведёт к недостаточной поворачиваемости, от задней оси он всегда отрицателен, то есть является эффектом избыточной поворачиваемости.