Входной буфер-фильтр низкой частоты для АЦП

Если просмотреть документацию, можно найти странную схему перед некоторыми АЦП. Она выглядит как фильтр низкой частоты, но вы не найдёте этой топологии в книгах.

Давайте разбираться что это, как работает и как её рассчитать.

Функция передачи

Считая операционный усилитель идеальным пишем функцию передачи этой схемы:

ФНЧ 2-го порядка "В петле обратной связи"

Входной буфер-фильтр низкой частоты

R2 1
H(s) = − —— —————————————————————————————————————————
R1 (1 + C1 (R2 + R3) s + (C1 C2 R2 R3) s^2)

Она выглядит в точности как прототип функции фильтра низкой частоты (ФНЧ) 2-го порядка:

A
H(s) = —————————————————————————
1 + s / (Q ω) + s^2 / ω^2

Так что можно написать, что частота среза:

1
ω = ——————————————
√(C1 C2 R2 R3)

добротность:

√(C1 C2 R2 R3)
Q = ——————————————
C1 (R2 + R3)

коэффициент передачи по постоянному току:

A = − R2 / R1

Уравнения показывают одно из достоинств этой схемы: можно изменять усиление изменяя только R1 без затрагивания других параметров! Другие достоинства заключаются в наличии ёмкости на выходе, которая может быть использована как буфер перед АЦП, и возможность смещения постоянной составляющей выходного сигнала. Но также видны недостатки: это инвертирующий усилитель, так что его входное сопротивление не может быть слишком большим. Позже мы увидим, как инженеры пытаются решить эту проблему на примере входных буферов перед звуковыми АЦП.

Пример

Уравнения получены, так что можно рассчитать фильтр.

Для фильтра перед АЦП выберем ФНЧ с плоской АЧХ, так что добротность будет 0.707. Частоту среза возьмём 370 кГц, чтобы в звуковом диапазоне иметь максимально плоскую АЧХ. Входное напряжение АЦП 2.8 В пик-пик и максимальное входное напряжение 14.9 В пик-пик.

Выбираем значение резистора обратной связи R2 620 Ом и выходного резистора R3 10 Ом.

Теперь можно рассчитать номиналы других деталей.

           1                            1
C1 = ————————————— = ———————————————————————————————————————— = 966 пФ
     (R2 + R3) Q ω   (620 Ом + 10 Ом) × 0.707 × 2 π × 370 кГц

     (R2 + R3) Q      (620 Ом + 10 Ом) × 0.707
C2 = ——————————— = —————————————————————————————— = 30.9 нФ
       R2 R3 ω     620 Ом × 10 Ом × 2 π × 370 кГц

Эту схему в качестве входного буфера можно найти в документации на AK5552 от Asahi Kasei, но так как C2 подключен между дифференциальными выходами. его номинал в 2 раза меньше. C2 разделён на 3 ёмкости, 100 пФ конденсаторы используются для фильтрации синфазной помехи и их номиналы примерно в 100 раз меньше ёмкости включенной между дифференциальными выходами чтобы предотвратить превращение синфазного шума в дифференциальный из-за неравенства номиналов реальных конденсаторов. Здесь также можно использовать полностью дифференциальный усилитель.

Входной фильтр AK5552

Входной фильтр AK5552, симуляция

АЧХ гладкая и полностью соответствует ожиданиям.

Похожие схемы

Теперь посмотрим документацию других производителей.

Cirrus Logic

Входной фильтр CS42528

Буфер аналогового сигнала в документации на CS42528 выглядит знакомо, но всё же есть отличия в схеме включения верхнего усилителя.

Давайте напишем функцию передачи этой схемы для выхода AINL1+ и выхода ОУ:

Схема компенсации ёмкостной нагрузки

1 + C1 (R1 + R2) s 1 1
AINL1+(s) = —————————————————————————————————————— = ———————————————————————————————————————————— ≈ —————————
1 + C1 (R1 + R2) s + (C1 C2 R1 R2) s^2 1 + (C1 C2 R1 R2) s^2 / (1 + C1 (R1 + R2) s) 1 + s / ω

Она не выглядит как функция передачи ФНЧ 2-го порядка! Она больше похожа на ФНЧ первого порядка и прототип полосового фильтра 2-го порядка:

s / (Q ω)
H(s) = —————————————————————————
1 + s / (Q ω) + s^2 / ω^2

Так что можно ожидать спад -6 дБ на октаву и, вероятно, какой-то пик.

Фактически, это два фильтра в одном, низкой частоты и полосовой:

1 s / (Q ω)
H(s) = ————————————————————————— + —————————————————————————
1 + s / (Q ω) + s^2 / ω^2 1 + s / (Q ω) + s^2 / ω^2

Можно написать по аналогии уравнения для некоей "частоты среза" (не частоты пика, потому что всё же схема ближе к ФНЧ, чем полосовому):

1
ω = ——————————————
√(C1 C2 R1 R2)

"добротность":

√(C1 C2 R1 R2)
Q = ——————————————
C1 (R1 + R2)

Очень похоже на первую схему, правда?

Теперь сигнал на выходе ОУ.

1 + (C1 (R1 + R2) + C2 R2) s + (C1 C2 R1 R2) s^2
Out(s) = ———————————————————————————————————————————————— ≈ 1
1 + C1 (R1 + R2) s + (C1 C2 R1 R2) s^2

Out(s) больше похоже просто на усилитель, потому что числитель и знаменатель практически одинаковы.

Эту схему можно найти в книге Analog Devices. “Op Amp Applications Handbook”, Глава 6, Рисунок 6-74, где она используется для компенсации ёмкостной нагрузки.

Посмотрим сигнал отдельно на каждом выходе в симуляторе.

Входной фильтр CS42528, раздельная симуляция усилителей с идеальными ОУ

Верхняя схема это верхняя часть дифференциального фильтра, а нижняя соответственно нижняя. Хотя схемы выглядят похожими, они работают по разному. Зелёная линия показывает выход верхнего плеча, имеющий спад −20 дБ/декаду, так что это в целом фильтр первого порядка, а жёлтая линии выхода нижнего плеча имеет спад −40 дБ/декаду и это фильтр второго порядка. Линия салатового цвета показывает сигнал на выходе ОУ используемый как вход нижнего плеча.

Используем наши уравнения и сравним их с результатами симуляции.

                   1                               1
Fcutoff = —————————————————— = ———————————————————————————————————————— ≈ 416 kHz
          2 π √(C1 C2 R1 R2)   2π × √(470 пФ × 5.4 нФ × 634 Ом × 91 Ом)

    √(C1 C2 R1 R2)   √(470 пФ × 5.4 нФ × 634 Ом × 91 Ом)
Q = —————————————— = ——————————————————————————————————— ≈ 1.123
     C1 (R1 + R2)         470 пФ × (634 Ом + 91 Ом)

Виден пик примерно около 392 кГц, частота −3 дБ около 735 кГц.

Теперь интересно посмотреть на финальный результат, когда плечи соединены как в документации.

Входной фильтр CS42528, симуляция

Выглядит странновато, не так ли? Спад на дифференциальном выходе существует за счёт фазового сдвига между выходными сигналами. Основная идея была получить буфер с большим входным сопротивлением используя неинвертирующую версию фильтра. Всё же АЧХ достаточно гладкая в диапазоне звуковых частот.

Texas Instruments

В документации на PCM4222 находим два варианта входного буфера.

Входной фильтр PCM4222 на полностью дифференциальном усилителе

Давайте определим параметры схемы:

Параметры входного фильтра для PCM4222

Используется добротность, которая ведёт к небольшой неравномерности, и вдвое большая полоса.

Симуляция входного фильтра PCM4222 с помощью идеальных ОУ

Мы знаем, что неинвертирующий вариант этой схемы это скорее фильтр первого порядка с некоторой неравномерностью. Давайте посмотрим как инженеры Texas Instruments решили эту проблему.

Неинвертирующий ФНЧ для PCM4222

Симуляция неинвертирующего входного фильтра для PCM4222 с помощью идеальных ОУ

АЧХ в диапазоне звуковых частот достаточно гладкая, частота по уровню −3 дБ около 855 кГц хотя есть пик около +0.5 дБ около 177 кГц. Спад −20 дБ/декаду.

                   1                                 1
Fcutoff = —————————————————— = ————————————————————————————————————————————— ≈ 279 kHz
          2 π √(C1 C2 R1 R2)   2π × √(1 нФ × 2 × 2.7 нФ × 1.5 кОм × 40.2 Ом)

    √(C1 C2 R1 R2)   √(1 нФ × 2 × 2.7 нФ × 1.5 кОм × 40.2 Ом)
Q = —————————————— = ———————————————————————————————————————— ≈ 0.37
     C1 (R1 + R2)           1 нФ × (1.5 кОм + 40.2 Ом)

Расчёт схемы компенсации ёмкостной нагрузки

Настало время проверить наши идеи и рассчитать свой неинвертирующий буфер для ёмкостной нагрузки.

Пусть "частота среза" будет 100 кГц и "добротность" 0.1 для минимизации неравномерности.

Ёмкостная нагрузка это C2 = 5.1 нФ. Выбираем R2 = 100 Ом.

          Q R2                      0.1 × 100 Ом
R1 = ——————————————— = ————————————————————————————————————— ≈ 45.3 Ohm
     2 π F C2 R2 − Q   2 π × 100 кГц × 5.1 нФ × 100 Ом − 0.1

              1                                 1
C1 = —————————————————— = ———————————————————————————————————————————— ≈ 0.1 uF
     (2 π F)^2 R1 R2 C2   (2π × 100 кГц)^2 × 45.3 Ом × 100 Ом × 5.1 нФ

Схема компенсации ёмкостной нагрузки, симуляция

Есть очень небольшой пик +0.08 дБ примерно на 40 кГц, но частота −3 дБ около 1 МГц, так что если полоса должна быть уже, "частота среза" должна быть изменена. Номиналы деталей также можно изменить, чтобы подобрать более подходящие.

Дополнительный набор уравнений.

F−3dB Q √2
Fcutoff = ———————————————————————————————————————
√{√{4 Q^2 (2 Q^2 + 1) + 1} + 2 Q^2 + 1}

Пик, в разах:

(Q^2 + 2)^(1/4)
β = ————————————————————————————————————————————————————
√{2Q^3 (Q^2 + 2) + (1 - 2 Q^2 (Q^2 + 1)) √[Q^2 + 2]}

Частота среза по уровню −3 дБ:

√{√{C1^2 (R1^4 + R2^4) + 2 R1 R2 [2 (C1 + C2) (C1 (R1^2 + R2^2) + 2 C2 R1 R2) + 3 R1 R2 C1^2]} + C1 (R1^2 + R2^2) + 2 R1 R2 (C1 + C2)}
F−3db = ——————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————
2 π C2 R1 R2 √{2 C1}

Частота в точке пика

√{√{C2 R1 R2 [2 C1 (R1 + R2) (R1 + R2) + C2 R1 R2]} / (C2 R1 R2) - 1}
Fpeak = —————————————————————————————————————————————————————————————————————
2 π 2 C1 (R1 + R2)

В случаях, когда сопротивлением нагрузки RL пренебречь нельзя, функция передачи становится более сложной:

1 + C1 (R1 + R2) s
H(s) = ———————————————————————————————————————————————————
1 + C1 (R1 + R2 + R1 R2 / RL) s + (C1 C2 R1 R2) s^2

Заключение

Обе топологии подходят для входного буфера АЦП, но только инвертирующая версия является фильтром низкой частоты второго порядка.

Достоинства этой топологии фильтра:

•Конденсатор на выходе. Он работает как ячейка хранения, что подходит для АЦП, и компенсирует частотно-зависимый выходной импеданс скомпенсированного ОУ;

•Усиление по постоянному току может быть изменено только одним резистором и может быть больше или меньше 1;

•Можно использовать ОУ или полностью дифференциальный усилитель;

•Постоянный и активный входной импеданс в рабочей полосе частот;

•Выходное напряжение может иметь сдвиг по постоянному току, поэтому может использоваться при однополярном питании или с АЦП имеющими однополярное питание;

Недостатки:

•Небольшой входной импеданс и инвертирующий выход;

•Чтобы номинал выходного резистора был максимально мал, ОУ должен быть способен работать на ёмкостную нагрузку;

•При выборе напряжения питания следует учитывать, что присутствует падение напряжения на выходном резисторе;

•Сопротивление нагрузки RL влияет на передаточную функцию схемы;
R2 1
H(s) = − —— ——————————————————————————————————————————————————————
R1 (1 + C1 (R2 + R3 + R2 R3 / RL) s + (C1 C2 R2 R3) s^2)

Интересно, что этот тип фильтра встречается только как входной буфер перед АЦП и не встречается после ЦАП. Углублённую информацию о фильтрах низкой частоты с топологиями многопетлевой обратной связью и Саллена-Кея можно найти в Texas Instruments, “Active Low-Pass Filter Design”, Глава 10 and 11. Может, есть какие-то скрытые недостатки в этой топологии? Или просто не все инженеры знают об этой топологии или просто боятся её использовать?

Ссылки

Analog Devices. “Linear Circuit Design Handbook”. Chapter 8, “Analog Filters”.

https://www.analog.com/en/education/education-library/linear-circuit-design-handbook.html

Analog Devices. “Op Amp Applications Handbook”. Chapter 6, “Signal Amplifiers”.

https://www.analog.com/en/education/education-library/op-amp-applications-handbook.html

Texas Instruments, “Active Low-Pass Filter Design”.

https://www.ti.com/lit/an/sloa049b/sloa049b.pdf

Asahi Kasei, документация AK5552.

https://www.akm.com/content/dam/documents/products/audio/audio-adc/ak5552vn/ak5552vn-en-datasheet.pdf

Cirrus Logic, документация CS42528.

https://statics.cirrus.com/pubs/proDatasheet/CS42528_F2.pdf

Texas Instruments, документация PCM4222.