Компенсация ошибки из-за ограниченной полосы единичного усиления операционных усилителей в ФНЧ

Реальный операционный усилитель имеет встроенную схему компенсации для обеспечения стабильности и ограничивающую его рабочую полосу частот. АЧХ скомпенсированного ОУ имеет наклон -6 дБ/октаву или -20 дБ/декаду. Частота единичного усиления, по английски Gain-Bandwidth, GBW, или Gain–Bandwidth Product, GBP, определяет полосу частот, в которой ОУ способен усиливать сигнал. Произведения усиления на частоту в каждой точке кривой одинаковы, что позволяет использовать этот параметр для выбора подходящего ОУ.

Но ведь мы хотим оптимизировать схемы?

Усиление системы с обратной связью в схемах неинвертирующего и инвертирующего усилителя

Функция передачи усилителя с замкнутой петлёй обратной связи неинвертирующего усилителя:

       A
G = ———————
    1 + A β

инвертирующего усилителя:

      A (1 - β)
G = - —————————
       1 + A β

где A это коэффициент передачи усилителя с разомкнутой петлёй обратной связи, а β - коэффициент передачи в петле обратной связи.

Для примера рассчитаем усиление инвертирующей схемы с желаемым усилением 1 для случая когда A=100, β = Rin/(Rfb+Rin) = 1/(1+1) = 0.5:

      A (1 - β)     100 * (1 - 1/2)     50
G = - ————————— = - ——————————————— = - —— ≈ -0.98
       1 + A β       1 + 100 * 1/2      51

и A=1:

      A (1 - β)     1 * (1 - 1/2)     0.5
G = - ————————— = - ————————————— = - ——— ≈ -0.333
       1 + A β       1 + 1 * 1/2      1.5

Но чтобы сделать реальный ОУ стабильным, A имеет зависимость от частоты и присутствует фазовый сдвиг, как видно на рисунке ниже.

АЧХ и ФЧХ скомпенсированного операционного усилителя без цепей обратной связи

GBW = A  × F является константой и чем больше GBW, тем быстрее и дороже ОУ. Конечно, это произведение не может быть бесконечным, поэтому видна полка из-за ограниченного усиления на низких частотах.

ОУ в схеме инвертирующего усилителя с замкнутой петлёй обратной связи

На рисунке видно, как отличаются кривые передаточных функций идеального и скомпенсированного ОУ с частотой единичного усиления 1 МГц.

Видно, что салатовая линия скомпенсированного усилителя всегда под жёлтой линией, показывающей его усиление без обратной связи, и всегда должен быть запас усиления.

Однако, усиление на частоте 1 МГц не -9.55 дБ, а около -7 дБ из-за фазового сдвига на выходе.

Кривая величины ошибки усиления неинвертирующего усилителя от запаса усиления выглядит так:

Зависимость ошибки усиления от запаса усиления

Компенсация ошибки для ФНЧ 2-го порядка

Для расчёта частоты единичного усиления ОУ для ФНЧ обычно применяется формула:

GBW(Hz) = 100 Q G F3
 

где:

Q - добротность фильтра,

G - желаемое усиление,

F3 - частота по уровню -3 дБ,

100 - запас усиления.

Почему так? У ФНЧ с Q > 0.707 наблюдается пик, и чтобы это учесть, надо домножить требуемое усиление на этот пик, уровень которого:

 
              Q
β = —————————————————————— ≈ Q
    sqrt( 1 - 1 / (4 Q^2 )

Если взять наиболее часто применяемые фильтры, это будут фильтры перед АЦП или ЦАП. Так что даже для ФНЧ с частотой среза в 150 кГц желателен ОУ с частотой единичного усиления не менее 15 МГц.

Инженеры Texas Instruments предложили метод, позволяющий снизить требование к ОУ:

TI, Vito Shen, Thomas Kuehl, "Compensation Methodology for Error in Multiple-Feedback Low-Pass Filter, Caused by Limited Gain-Bandwidth of Operational Amplifiers".

TI, Vito Shen, Thomas Kuehl, "Compensation Methodology for Error in Sallen-Key Low-Pass Filter, Caused by Limited Gain-Bandwidth of Operational Amplifiers".

Попробуем разобраться в формулах и применить.

ФНЧ с многопетлевой обратной связью

Рассчитаем ФНЧ 2-го порядка с полосой 150 кГц, усилением 1 и добротностью 0.707.

ФНЧ 2-го порядка с многопетлевой обратной связью

Рассчитаем требуемую полосу единичного усиления:

GBW(Hz) = 100 Q G F3 = 100 * 0.707 * 1 * 150кГц = 10.5 МГц

Попробуем применить в схеме ОУ с 1 МГц.

Добавляем R4 последовательно с C2:

         1              1
R4 = —————————— = ————————————— = 2122 ≈ 2.1 К (E96)
     2 π GBW C2   2 π 1МГц 75пФ

Изменяем R3:

R3' = R3 - R4 = 4990 - 2100 = 2868 ≈ 2.87 К (E96)

Смотрим что получилось в симуляторе.

Компенсация ошибки из-за ограниченной полосы ОУ в схеме ФНЧ с многопетлевой братной связью

Верхняя схема и зелёный цвет на графиках - идеальный усилитель.

Средняя схема и салатовый цвет на графиках - ОУ с полосой единичного усиления 1 МГц.

Нижняя схема и жёлтый цвет на графиках - ОУ с полосой единичного усиления 1 МГц в схеме с компенсацией.

Если номинал резистора R3 небольшой, коррекция может дать отрицательное значение. В этом случае следует перерассчитать фильтр, задав большее значение для R3.

ФНЧ с топологией Саллена-Кея

Рассчитаем ФНЧ 2-го порядка с полосой 150 кГц, усилением 1 и добротностью 0.707.

ФНЧ 2-го порядка с топологией Саллена-Кея

Рассчитаем требуемую полосу единичного усиления:

GBW(Hz) = 100 Q G F3 = 100 * 0.707 * 1 * 150кГц = 10.5 МГц

Попробуем применить в схеме ОУ с 1 МГц.

Добавляем R5 последовательно с C1:

        R4 + R3           0 + ∞               1
R5 = ————————————— = ———————————————— = —————————————— = 1061 ≈ 1.07 К (E96)
     2 π GBW C1 R3   2 π 1МГц 150пФ ∞   2 π 1МГц 150пФ

Изменяем R2:

R2' = R2 - R5 = 4990 - 1070 = 3920 = 3.92 К (E96)

Смотрим, что получилось в симуляторе.

Компенсация ошибки из-за ограниченной полосы ОУ в схеме ФНЧ с топологией Саллена-Кея

Верхняя схема и зелёный цвет на графиках - идеальный усилитель.

Средняя схема и салатовый цвет на графиках - ОУ с полосой единичного усиления 1 МГц.

Нижняя схема и жёлтый цвет на графиках - ОУ с полосой единичного усиления 1 МГц в схеме с компенсацией.

Компенсации ошибки в схеме компенсации обратной связи импульсных блоков питания, Тип 2 на ОУ

Теперь попробуем применить такой же подход к схеме компенсации импульсных блоков питания, Тип 2 на ОУ.

Рассмотрим схему компенсатора Тип 2 с параметрами: ноль на частоте 2 кГц, полюс на частоте 300 кГц, усиление в середине полосы 0 дБ.

Компенсатор Тип 2 на ОУ

Консервативный расчёт требуемой частоты единичного усиления:

GBW = M Fpole Gfp = 100 * 0.707 * 300кГц = 21 МГц

где:

M=100 - запас усиления ОУ на выбранной частоте в разах,

Fpole - частота полюса схемы в Герцах,

Gfp - желаемое усиление схемы на частоте полюса в разах.

Christophe Basso в работе Understanding Op Amp Dynamic Response In A Type-2 Compensator (Part 2): The Two Poles предлагает другой расчёт:

GBW = M (20 Fcross) Gfc = 20 * 20 * 5кГц * 1 = 2 МГц

где:

M=20 - запас усиления ОУ на выбранной частоте в разах,

20 Fcross - частота с максимальным запасом по фазе схемы в Герцах с коэффициентом, учитывающим положение полюса,

Gfc - желаемое усиление схемы на частоте Fcross в разах.

Функция передачи обычной схемы компенсатора тип 2 на ОУ:

                          C1 R1 s + 1
H(s) = - ——————————————————————————————————————————————
         (s Rfb1 (C1 + C2))(s C1 C2 R1 / (C1 + C2) + 1)

Добавим R2 последовательно с C2. Функция передачи станет:

                      (1 + C1 R1 s) (1 + C2 R2 s)
H(s) = - ——————————————————————————————————————————————————————
         (Rfb1 (C1 + C2) s) (s C2 C1 (R2 + R1) / (C1 + C2) + 1)

Изменим номинал конденсатора C2 и рассчитаем R2:

               1
C2' = C2 - ——————————
           2 π GBW R1

         1
R2 = -----------
     2 π GBW C2'

Теперь попробуем использовать в этой схеме ОУ с полосой единичного усилений 1 МГц.

Перерассчитаем номиналы деталей схемы по этим формулам и посмотрим результат.

Новый номинал конденсатора C2:

                  1
C2' = 56пФ - ———————————— = 40пФ ≈ 39 пФ (E24)
             2 π 1МГц 10к

Номинал резистора R2:

           1
R2 = ————————————— = 4к ≈ 3.9 К (E24)
     2 π 1МГц 39пФ

Проверяем результат в симуляторе.

Компенсация ошибки из-за ограниченной полосы ОУ в схеме компенсатора Тип 2.

Верхняя схема и зелёный цвет на графиках - идеальный усилитель.

Средняя схема и салатовый цвет на графиках - ОУ с полосой единичного усиления 1 МГц.

Нижняя схема и жёлтый цвет на графиках - ОУ с полосой единичного усиления 1 МГц в схеме с компенсацией.

Компенсации ошибки в схеме компенсации обратной связи импульсных блоков питания, Тип 2 с оптроном без линии быстрой связи

Существуют два варианта такой схемы: на ОУ и шунтовом регуляторе TL431.

Будем использовать те же параметры: ноль на частоте 2 кГц, полюс на частоте 300 кГц, усиление в середине полосы 0 дБ, коэффициент передачи тока оптрона 1.

Компенсатор Тип 2 с оптроном без линии быстрой связи

Функция передачи обоих схем (C1=Cz, R1=Rz):

         CTR Rp       (C1 R1 s + 1)
H(s) = - —————— ————————————————————————
           Rd   (s Rfb1 C1)(s Cp Rp + 1)

где CTR - коэффициент передачи оптрона по току.

Добавим Rc последовательно с Cp. Функция передачи станет:

         CTR Rp   (1 + C1 R1 s) (1 + Cp Rc s)
H(s) = - —————— ————————————————————————————————
           Rd   (s Rfb1 C1) (s Cp (Rp + Rc) + 1)

Изменим номинал конденсатора Cp и рассчитаем Rc:

               1
Cp' = Cp - ——————————
           2 π GBW Rp

         1
Rc = ———————————
     2 π GBW Cp'

Теперь попробуем использовать в этой схеме ОУ с полосой единичного усилений 1 МГц.

Перерассчитаем номиналы деталей схемы по этим формулам и посмотрим результат.

Новый номинал конденсатора Cp:

                  1
Cp' = 51пФ - ———————————— = 35.1пФ ≈ 36 пФ (E24)
             2 π 1МГц 10к

Номинал резистора Rc:

           1
Rc = ————————————— = 4.421к ≈ 4.42 К (E96)
     2 π 1МГц 36пФ

Проверяем результат в симуляторе.

Компенсация ошибки из-за ограниченной полосы ОУ в схеме компенсатора Тип 2 с оптроном.

Верхняя схема и зелёный цвет на графиках - идеальный усилитель.

Средняя схема и жёлтый цвет на графиках - ОУ с полосой единичного усиления 1 МГц.

Нижняя схема и салатовый цвет на графиках - ОУ с полосой единичного усиления 1 МГц в схеме с компенсацией.

Не забывайте только, что в реальный оптрон имеет паразитную ёмкость и её следует учитывать.

Заключение

Предлагаемые методики позволяют снизить требования к полосе единичного усиления ОУ и удешевить схемы.

Для фильтров они хорошо работают при обычно используемых добротностях ниже 1.

Ссылки

TI, Vito Shen, Thomas Kuehl, "Compensation Methodology for Error in Multiple-Feedback Low-Pass Filter, Caused by Limited Gain-Bandwidth of Operational Amplifiers".

https://www.ti.com/lit/an/sbaa236/sbaa236.pdf

TI, Vito Shen, Thomas Kuehl, "Compensation Methodology for Error in Sallen-Key Low-Pass Filter, Caused by Limited Gain-Bandwidth of Operational Amplifiers".

https://www.ti.com/lit/an/sbaa237/sbaa237.pdf

Christophe Basso, "Understanding Op Amp Dynamic Response In A Type-2 Compensator (Part 1): The Open-Loop Gain".

http://www.how2power.com/newsletters/1701/articles/H2PToday1701_design_ONSemi.pdf

Christophe Basso, "Understanding Op Amp Dynamic Response In A Type-2 Compensator (Part 2): The Two Poles".

http://www.how2power.com/newsletters/1702/articles/H2PToday1702_design_ONSemi.pdf

Christophe Basso, “The TL431 in Switch-Mode Power Supplies loops”.

https://cbasso.pagesperso-orange.fr/Downloads/Papers/The%20TL431%20in%20loop%20control.pdf

Симулятор, "idealCircuit".

https://sidelinesoft.com/ic/

Расчёт схем, "Circuit Calculator".

https://play.google.com/store/apps/details?id=com.vdv.circuitcalculator